[MATERI] LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

I.    PENDAHULUAN

           Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

II.  PERNYATAAN

           Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.    

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK    
   

           Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

           Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

           Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1.  Jakarta adalah ibukota negara RI

2.  Merah putih adalah bendera negara RI

3.  2 adalah bilangan prima yang genap

4.  Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

 

IV. OPERASI LOGIKA 

           Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah:

1.  Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  “ ~ “

2.  Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ ∧ “

3.  Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ ∨  “

4.  Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ → “

5.  Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ ↔  “

Contoh pernyataan majemuk:

1.  Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2.  Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

V. TABEL KEBENARAN

 

1.  Operasi Negasi

           Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

      p             ~ p

  ----------------------

     B               S 

     S               B

Contoh:

p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2.  Operasi Konjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ ∧ “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

              benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

      p             q           p ∧ q

 -------------------------------------

     B             B              B

     B             S              S

     S             B              S

     S             S              S       

3. Operasi Disjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ ∨ “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu 

              komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

              jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Disjungsi Inklusif:                                      Disjungsi Eksklusif:

 

     p             q           p ∨ q                        p             q            p ∨ q

 -------------------------------------                --------------------------------------

     B             B              B                          B            B                 S

     B             S              B                          B            S                 B

     S             B              B                          S            B                 B   

     S             S              S                          S            S                 S         

4. Operasi Implikasi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “→ “.

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan

              konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:  

      p              q             p  →  q

 --------------------------------------------

      B              B                B

      B              S                S

      S              B                B

      S              S                B      

5.  Operasi Bi-implikasi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ ↔ “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya

              mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya

              mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: 

      p              q           p  ↔  q

 ------------------------------------------

      B              B              B

      B              S              S

      S              B              S

      S              S              B      

VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN

Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:

1. Kontradiksi

2. Tautologi

3.  Kontingensi

           Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

          Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

          Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

Contoh:

Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

( ~p ∧  q ) v ( q → p ) 

   p     q      ~ p    ~ p ∧ q      q → p   ( ~p ∧ q ) v ( q → p )

------------------------------------------------------------------

   B      B      S          S             B                      B

   B      S      S          S             B                      B

   S      B      B          B             S                      B

   S      S      B          S             B                      B  

Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi

VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS

           Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis.

Contoh:

   

    p        q         p → q       ( p → q ) ∧ p     [ ( p → q ) ∧ p ] → p

 ---------------------------------------------------------------------------------------

    B         B           B                     B                            B

    B         S           S                     S                            B

    S         B           B                     S                            B

    S         S           B                     S                            B      

           Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi  “ ≡  “  atau “ ≈  “

Contoh: 

   p      q        p ↔ q    p → q       q → p   ( p → q ) ∧ ( q → p )  

 -------------------------------------------------------------------------------------

   B      B           B            B               B                      B

   B      S           S            S               B                      S

   S      B           S            B               S                      S

   S      S           B            B               B                      B       

Karena   p ↔ q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p → q ) ∧ ( q → p ), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.

Jadi, p ↔  q  ≈  ( p → q ) ∧ ( q → p )

VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Jika suatu bentuk implikasi p → q diubah menjadi q → p disebut konvers
Jika suatu bentuk implikasi p → q diubah menjadi ~ p → ~ q disebut invers

Jika suatu bentuk implikasi p → q diubah menjadi ~ q → ~ p disebut kontraposisi

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers       : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers           : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah

Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

IX. PENGERTIAN KUANTOR

           Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.

Kuantor dibedakan atas:

1.  Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “∀ ”

2.  Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “∃ “

Contoh:

Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5

Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: ∀x, x + 3 > 5 ( S )

atau ∃x, x + 3 > 5 ( B )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR

    Contoh pernyataan berkuantor: 

1.  Semua manusia fana

2.  Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa

3.  Ada bunga mawar yang berwarna merah

4.  Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter

           Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan  “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) → F(x)

XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

           Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah

“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:

  x, M(x)  → T(x), negasinya  x, M(x) ∧ T(x)

XII. ARGUMEN

           Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. 

 Contoh:

1.  p → q

2.  p / ∴ q

1.  ( p → q ) ∧ ( r → s )

2.  ~ q v ~ s / ∴ ~ p v ~ r

1.  p

2.  q /  ∴ p  q

XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

           Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

           1. Tabel Kebenaran

2.  Aturan Penyimpulan

       Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argumen

1.  1. p → q

2.  ~ q / ∴ ~p

2.  1. a → b

    2. c → d

3.  ( ~b v ~d ) ∧  ( ~a v ~b )/ ∴ ~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

   p    q   ~p   ~q   p → q   [( p → q)  ∧ ~q]   [(p → q) ∧ ~q] → ~p

---------------------------------------------------------------------------

  B    B    S    S       B                  S                          B

  B    S    S    B       S                  S                          B

  S    B    B    S       B                  S                          B

  S    S    B    B       B                  B                          B  

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

    1. a → b

    2. c → d

3.  ( ~b v ~d )  ∧ ( ~a v ~b )/ ∴ ~a v ~c

4.  ( a → b )  ∧ ( c → d )   1,2 Conj

5.  ( ~b v ~d )                   3, Simpl

6.  ~ a v ~c                      4,5 DD

XIV. ATURAN PENYIMPULAN

1.  Modus Ponens (MP)

     p → q

     p  / ∴  q

2.  Modus Tolens (MT)

    p → q

    ~q / ∴ p

3.  Hypothetical Syllogisme (HS)

    p → q

    q → r / ∴ p → r

4.  Disjunctive Syllogisme (DS)

       p v q

    ~ p / ∴  q

5.  Constructive Dillema (CD)

     ( p → q ) ∧  ( r → s )

       p v r / ∴ q v s

6.  Destructive Dillema (DD)

    ( p → q ) ∧ ( r → s )

     ~ q v ~ s / ∴ ~p v ~r

7. Conjunction (Conj)

    p

    q / ∴ p ∧ q

8.  Simplification (Simpl)

     p ∧ q

     ∴ p

9.  Addition ( Add)

    p

    ∴ p v q

XV. ATURAN PENGGANTIAN

1.  De Morgan

a.  ~ ( p ∧ q ) ≡ ~ p v ~ q

b.  ~ ( p v q ) ≡ ~ p ∧ ~ q

2.  Komutatif

a.  ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p )

b.  ( p v q ) ≡ ( q v p )

3.  Asosiatif

a.  ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r )

b.  ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ ( q  ∧  r )

4.  Distributif

a.  ( p v q ) ∧ r  ≡ ( p ∧ r ) v ( q ∧ r )

b.  ( p ∧ q ) v r ≡ ( p v r ) ∧ ( q v r )

5.  Dobel Negasi

    ~ ( ~ p ) ≡ p

6.  Implikasi

    p → q ≡ ~ p v q

7.  Material Equivalen

a.  p ∧ q  ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p )

b.  p ∧ q  ≡ ( p ∧ q ) v ( ~ p ∧ ~ q )

8.  Eksportasi

     p → ( q → r ) ≡ ( p ∧ q ) → r

9.  Transposisi

     p → q ≡ ~ q → ~ p

10. Tautologi

a.  ( p v p ) ≡ p

b.  ( p ∧ p ) ≡ p