Tugas Tugas Pengerjaan

Tugas Tugas Pengerjaan

Tugas Pertama

1.  Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.

a.  Jika x² genap maka x genap. 
    ⇔  p ⇒ q

Jawab :

·  
Konvers: q ⇒ p

⇔Jika x genap maka x² genap.

·  Invers: ¬ p ⇒ ¬ q

⇔Jika x² bukan genap maka x bukan genap.

⇔ Jika x² ganjil maka x ganjil.

·  Kontraposisi: ¬ q ⇒ ¬ p

⇔Jika x bukan genap maka x² bukan genap.

⇔ Jika x ganjil maka x² ganjil.

b.  Tidak ada bilangan prima genap yang lebih dari dua.

            ⇔ Jika ada  bilangan prima genap maka tidak lebih dari dua.

⇔ p ⇒ ¬ q

Jawab:

·  Konvers: ¬ q ⇒ p

⇔

·  Invers: ¬ p ⇒ q

·  Kontraposisi: q ⇒ ¬ p

c.  G disebut grup jika G merupakan operasi biner dan memenuhi aturan A, B, C, D.

⇔ Jika G merupakan operasi biner dan memenuhi aturan A, B, C, D maka G disebut grup

⇔ ( p ∧ q ) ⇒ r

Jawab:

·   Konvers: r ⇒ ( p ∧ q )

⇔ Jika G disebut grup maka G adalah operasi biner dan memenuhi aturan A,B,C,D

·   Invers: ¬ ( p ∧ q ) ⇒ ¬ r

⇔ ¬ p ∨ ¬ q ⇒ ¬ r

⇔ Jika G bukan merupakan operasi biner atau tidak memenuhi aturan A, B, C, D maka G bukan disebut grup.

·   Kontraposisi: ¬ r ⇒ ¬ ( p ∧ q )

⇔ ¬ r ⇒ ¬ p ∨ ¬ q

⇔ Jika G bukan grup maka G bukan merupakan operasi biner atau tidak memenuhi aturan A, B, C, D

2.   Tentukan Kontraposisi dari ingkaran:

a.   Beberapa penyanyi tidak pandai menari.

⇔ p ∧ ¬ q

⇔ ¬ ( p ⇒ q )

Jawab:

·   Ingkaran dari ¬ ( p ⇒ q ) : ¬ [ ¬ ( p ⇒ q )]

⇔ p ⇒ q

⇔ Jika penyanyi maka pandai menari.

·   Kontraposisi dari p ⇒ q : ¬ q ⇒ ¬ p

⇔ Jika bukan penyanyi maka tidak pandai menari.

b.   A himpunan kosong jika A tidak memiliki anggota.

⇔ q jika p

⇔ jika A tidak memiliki anggota maka A himpunan kosong.

⇔ jika p maka q

⇔ p ⇒ q

Jawab:

·   Ingkaran dari p ⇒ q : ¬ ( p ⇒ q )

⇔ p ∧ ¬ q

⇔

· Kontraposisi dari p ∧ ¬ q :

Tugas Kedua

1.  Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari:

a.  ( p ∧ q ) ⇒ r

Jawab:

·   Konvers: r ⇒ ( p ∧ q )

·   Invers: ¬ ( p ∧ q ) ⇒ ¬ r

⇔ ( ¬ p  ¬ q ) ⇒ ¬ r

·   Kontraposisi: ¬ r ⇒ ¬ ( p ∧ q )

⇔ ¬ r ⇒ ( ¬ p  ¬ q )

b.  p  ⇒ ( q ∧ r )

Jawab:

·    Konvers: ( q ∧ r ) ⇒ p

·   Invers: ¬ p  ⇒ ¬ ( q ∧ r )

⇔ ¬ p  ⇒ (¬ q   ¬ r )

·   Kontraposisi: ¬  ( q ∧ r ) ⇒ ¬ p

⇔ (¬ q  ¬ r ) ⇒ ¬ p

c.  ¬ p ⇒ ( q ∧ ¬ r )

Jawab:

·   Konvers: ( q ∧ ¬ r ) ⇒ ¬ p

·   Invers: p ⇒ ¬ ( q ∧ ¬ r )

 ⇔ p ⇒ ( ¬ q  r )

·   Kontraposisi: ¬  ( q ∧ ¬ r ) ⇒ p

⇔ ( ¬ q  r )  ⇒ p

d.  ( p ∨ ¬ q ) ⇒ ( q ∧ r )

Jawab:

·   Konvers: ( q ∧ r ) ⇒ ( p ∨ ¬ q )

·   Invers: ¬ ( p ∨ ¬ q ) ⇒ ¬ ( q ∧ r )

⇔ ( ¬ p ∧ q ) ⇒ (¬ q ∨ ¬ r )

·   Kontraposisi: ¬ ( q ∧ r ) ⇒ ¬ ( p ∨ ¬ q )

⇔ (¬ q ∨ ¬ r ) ⇒ ( ¬ p ∧ q )

e.  ( ¬ q ∧ ¬ r ) ⇒ ( ¬ p ∨ q )

Jawab:

·   Konvers: ( ¬ p ∨ q ) ⇒ ( ¬ q ∧ ¬ r )

·   Invers: ¬  ( ¬ q ∧ ¬ r ) ⇒ ¬  ( ¬ p ∨ q )

⇔ ( q ∨ r ) ⇒ ( p  ∧ ¬ q )

·   Kontraposisi: ¬ ( ¬ p ∨ q ) ⇒ ¬ ( ¬ q ∧ ¬ r )

⇔ ( p  ∧ ¬ q ) ⇒ ( q ∨ r )

f.   ( q ∨ ¬ r ) ⇒ ( p ∧ r )

Jawab:

·   Konvers: ( p ∧ r ) ⇒ ( q ∨ ¬ r )

·   Invers: ¬ ( q ∨ ¬ r ) ⇒ ¬ ( p ∧ r )

  ⇔ ( ¬ q ∧ r ) ⇒  ( ¬ p ∨ ¬ r )

·   Kontraposisi: ¬ ( p ∧ r ) ⇒ ¬ ( q ∨ ¬ r )

⇔ ( ¬ p ∨ ¬ r ) ⇒ ( ¬ q ∧ r )

Tugas Ketiga

1.   Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

a)  Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.

⇔  p ⇒ q

Jawab:

·    Konvers: q ⇒ p

⇔ Jika harganya turun maka produksi melimpah.

·    Invers: ¬ p ⇒ ¬ q

⇔ Jika harganya tidak turun maka produksi tidak melimpah.

·    Kontraposisi: ¬ q ⇒ ¬ p

⇔ Jika produksinya tidak melimpah maka harganya tidak turun.

b)  Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.

⇔  ¬ p ⇒ q

Jawab:

·    Konvers: q ⇒ ¬ p

⇔ Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

·     Invers: p ⇒ ¬ q

⇔ Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.

·    Kontraposisi: ¬ q ⇒  p

⇔ Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.

c)  Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.

⇔ p ⇒ q

Jawab:

·     Konvers: q ⇒ p

⇔ Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.

·     Invers: ¬ p ⇒ ¬ q

⇔ Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.

·    Kontraposisi: ¬ q ⇒ ¬ p

⇔ Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

d)  Jika x > 10 maka x² > 100

⇔ p ⇒ q

Jawab:

·   Konvers: q ⇒ p

⇔ Jika x² > 100 maka x > 10

·   Invers: ¬ p ⇒ ¬ q

⇔ Jika x  ≤ 10 maka x² ≤ 100

·   Kontraposisi: ¬ q ⇒ ¬ p

⇔ Jika x² ≤ 100 maka x  ≤ 10

e)  Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.

⇔ p ⇒ ( q ∨ r )

     Jawab:

·   Konvers: ( q ∨ r ) ⇒ p

⇔ Jika x = 4 atau x = - 4 maka x² – 16 = 0.

·   Invers: ¬ p ⇒ ¬ ( q ∨ r )

⇔ ¬ p ⇒ ( ¬ q ∧ ¬ r )

⇔  Jika x² – 16 ≠ 0 , maka x ≠  4 dan x ≠  – 4.

·   Kontraposisi: ¬ ( q ∨ r ) ⇒ ¬ p

⇔ ( ¬ q ∧ ¬ r ) ⇒ ¬ p

⇔ Jika x ≠  4 dan x ≠  – 4 maka x² – 16 ≠ 0.

f)  Jika sin x = 90^o – cosx , maka x merupakan sudut lancip.

⇔ p ⇒ q

Jawab:

·   Konvers: q ⇒ p

⇔ Jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90^o – cos x.

·   Invers: ¬ p ⇒ ¬ q

⇔ Jika sin x ≠ 90^o – cos x maka  x bukan merupakan sudut lancip.

·   Kontraposisi: ¬ q ⇒ ¬ p

⇔ Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x ≠ 90^o – cos x.

g)  Jika tan x = - 1, maka x = 135^o dan x = 315^o.

⇔ p ⇒ ( q ∧ r )

Jawab:

·   Konvers: ( q ∧ r ) ⇒ p

⇔ Jika x = 135^o dan x = 315^o maka tan x = -1.

·   Invers: ¬ p ⇒ ¬ ( q ∧ r )

⇔ ¬ p ⇒ (¬ q ∨ ¬ r )

⇔  Jika tan x ≠  - 1, maka x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o.

·   Kontraposisi: ¬ ( q ∧ r ) ⇒ ¬ p

⇔ (¬ q ∨ ¬ r ) ⇒ ¬ p

⇔ Jika x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o, maka tan x ≠  - 1